\section{Caratterizzzazione apparato}
Prima di procede con la misura di interferenza in regime di fotone singolo, si son dovuti fare diversi test e caratterizzazioni dell'apparato strumentale. In particolare abbiamo caratterizzato la risposta del piezoelettrico fino a $\SI{2}{V}$, la stabilità dell'apparato, l'errore del fotodiodo e l'errore del PMT.\\

\subsection{Risposta del piezoelettrico}
\label{sec:Piezo}
Nel primo semestre si era già caratterizzata la risposta del piezo all'applicazione di tensione variabile. All'inizio della nostra esperienza ci siamo accorti che la vite per la traslazione manuale del sistema specchio-piezo era a fine corsa e questo impediva un corretto funzionamento del piezo che faceva molta più fatica ad espandersi. Per questi motivi la caratterizzazione della risposta del piezo è stata rifatta dopo aver riposizionato la vite in modo opportuno.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.90]{./graph/SchemaPiezo}
	\caption[Apparato caratterizzazione piezo]{Schema dell'apparato utilizzato per la caratterizzazione della risposta del piezoelettrico all'applicazione di tensione variabile.}
	\label{fig:SchemaPiezo}
\end{figure}

Le misure sono state eseguite con l'apparato mostrato in Figura \eqref{fig:SchemaPiezo}. Come si può vedere si è utilizzato il fotodiodo come rivelatore e SPIEDO per l'acquisizione dati e il comando del piezo in una rampa da $0 \ a \ \SI{2}{V}$. Si sono acquisiti $27$ cicli del piezo, corrispondenti a due periodi e mezzo della sinusoide. Di questi, però, molti sono stati scartati perché le fluttuazioni del laser le rendevano inutilizzabili. Alla fine i calcoli sono stati eseguiti con $13$ dei $27$ cicli del piezoelettrico.\\
Per ogni acquisizione è stato eseguito il fit della figura di interferenza con la funzione
\[
%\label{eq:FormulaFit}
a + b \ { \cos^2(pol_n)}
\]
con $a \text{ termine costante}$, $b \text{ termine di normalizzazione}$ e $pol_n$ (polinomiale di grado $n$) fase funzione del voltaggio applicato.
Tra 0 e 1 $V$ il traslatore mostra delle forti alinearità, il fit è stato pertanto ristretto tra 1 e 2 $V$.
Per la nostra analisi abbiamo limitato la polinomiale al secondo ordine perché potenze maggiori risultavano trascurabili. La formula da noi effettivamente utilizzata risulta
\begin{equation}
	\label{eq:FormulaFit}
	a + b \ { \cos^2(q \ V^2 + l \ V + f)}
\end{equation}
con $q \text{ termine quadratico}$, $l \text{ termine lineare}$.\\
Il paramentro di fase $f$, invece, rappresenta la differenza di fase tra i fasci che percorrono i due diversi bracci dell'interferometro a voltaggio nullo. \'E importante che questo parametro rimanga costante entro i tempi di una acquisizione. Questa verifica è illustrata nella sezione \ref{sec:Stabilita}.\\
Dai fit con l'equazione \eqref{eq:FormulaFit} si sono ottenute 13 determinazioni indipendenti dei parametri \emph{q} e \emph{l} (la loro distribuzioni è riportata in Figura \ref{hist:Parametri}).

%Per trasformare questa informazione in una distanza ottica associata al voltaggio applicato, dobbiamo usare una costante $T$ definita come
%\[ 
%	\label{eq:FaseToDist}
%	T = \frac{\SI{543}{nm}}{2 \pi}
%\] 
%dove i \SI{543}{nm} rappresentano la lunchezza d'onda del laser utilizzato. In questo modo il terminie $(T \ l+T \ q) V$ mi fornisce lo spostamento del mio specchio in funzione del voltaggio $V$ applicato.


\begin{figure}[!htb]
	\centering
	\subfloat[][\emph{campione di $l$}.]
	{\includegraphics[width=0.485\columnwidth , height=0.25\textheight]{./graph/piezo/par1}} \quad
	\subfloat[][\emph{campione di $q$}.]
	{\includegraphics[width=0.485\columnwidth , height=0.25\textheight]{./graph/piezo/par2}}
	\caption[Risultato fit caratterizzazione piezo]{Istogrammi dei parametri $q$ e $l$.}
	\label{hist:Parametri}
\end{figure}
Si potrebbe effettuare una media dei parametri e ottenere una stima della funzione di risposta del piezo. Questa procedura sarebbe corretta se i valori sopra citati fossere differenti determinazioni dello stesso valor vero.
Tuttavia alcune determinazioni differiscono di cinque o anche sei volte l'errore sulla singola determinazione e, pertanto, non sono compatibili (si osservi il grafico in Figura \ref{fig:ParametroSigmaParametro}). 
Si deduce che il piezoelettrico non risponde sempre nello stesso modo e pertanto non può essere determinata una funzione di risposta che fornisca una conversione sufficientemente precisa tra voltaggio e traslazione dello specchio.
Il risultato della caratterizzazione del piezoelettrico non è pertanto una singola funzione di risposta bens\`i le distribuzioni dei coefficienti dalla funzione di risposta.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\includegraphics[width=0.635\columnwidth , height=0.32\textheight]{./graph/piezo/par1_vs_spar1}
	\caption[$\sigma_l$ vs $l$]{Istogramma 2-dimensionale rappresentante il parametro lineare $l$ e il suo errore $\sigma_l$.}
	\label{fig:ParametroSigmaParametro}
\end{figure}

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\subsection{Errore sui valori del fotodiodo}
Nelle misure di interferenza in regime di fotone singolo, si è utilizzato il fotodiodo per controllare le oscillazioni dell'intensità del laser. In particolare si sono normalizzati i conteggi utilizzando i valori ottenuti con il fotodiodo. In Appendice \ref{sec:AppendiceII} viene evidenziato come l'errore sul voltaggio del fotodiodo si propaghi sulla misura finale.
L'errore sul singolo voltaggio del fotodiodo è stimato come lo scarto quadratico medio di un insieme di valori registrati a intensità costante del laser.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\includegraphics[width=.585\columnwidth , height=0.30\textheight]{./graph/photodiode/andamento}
	\caption[Dati per errore fotodiodo]{Il grafico rappresenta l'acquisizione effettuata per il calcolo dell'errore sui valori del fotodiodo. L'analisi è stata eseguita nell'intervallo [$140,245$]$s$.}
	\label{fig:AndamentoFotodiodo}
\end{figure}

Per il calcolo abbiamo utilizzato l'acquisizione mostrata in Figura \ref{fig:AndamentoFotodiodo} ottenuta con l'apparato nella configurazione finale in cui è stato coperto uno specchio. Come si può notare nell'acquisizione si hanno delle forti oscillazioni che sono attribuibili al laser. Per questo motivo è stata limitata l'analisi all'intervallo tra 140$s$ e 245$s$.\\
Anche nell'intervallo selezionato, però, si nota un andamento non casuale che causerebbe una sovrastima dell'errore. Per questo motivo è stata studiata la variabile
\begin{equation}
	\label{eq:V(t)-V(t-1)Fotodiodo}
	V(t) - V(t-1)
\end{equation}
dove $V(t)$ è il voltaggio registrato al tempo $t$ e $V(t-1)$ è il suo valore precedente. 
Con questi valori si è riempito l'istogramma in Figura \ref{fig:IstogrammaFotodiodo}.\\
Grazie a questo metodo si diminuisce l'influenza del trand sulla distribuzione ed è possibile calcolare l'errore del fotodiodo come 
\[
Var(V(t)-V(t-1)) = 2 \sigma^2 \qquad \text{supposto } Var(V(t))=Var(V(t-1))= \sigma^2
\]
ovvero usando i dati dell'istogramma in Figura \ref{fig:IstogrammaFotodiodo}. In questo modo si riesce a diminuire la sovrastima dell'errore ottenendo un valore
\[
\sigma = \sqrt{Var(V(t)-V(t-1))/2} = \input{./value/photodiode/svf.dat} \SI{  }{mV}
\]

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\includegraphics[width=.585\columnwidth , height=0.30\textheight]{./graph/photodiode/dif_risp_al_prec_between_140s_245s}
	\caption[Istogramma dati fotodiodo]{Istogramma generato a partire dai dati della Figura \ref{fig:AndamentoFotodiodo} con l'utilizzo della formula \eqref{eq:V(t)-V(t-1)Fotodiodo}.}
	\label{fig:IstogrammaFotodiodo}
\end{figure}

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\subsection{Voltaggio applicato al PMT}
Il PMT deve essere alimentato con una tensione dell'ordine delle centinaia di Volt.\\
Una tensione alta aumenta l'efficienza di raccolta del primo fotoelettrone sul primo dinodo, ne consegue un numero di conteggi più elevato a parità di fotoni incidenti sul fotocatodo. Tuttavia una tensione elevata aumenta anche il numero elettroni termici che produco un segnale del tutto simile a quello dei fotoelettroni.\\
\'E stato effettuato uno studio dei conteggi con il laser attenuato e con il laser spento a diversi voltaggi applicati al PMT.
In Figura \ref{fig:ConteggiLuceBuio} sono riportati i valori ottenuti.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\includegraphics[width=.645\columnwidth , height=0.30\textheight]{./graph/voltPMT/conteggi_luce_buio}
	\caption[Conteggi di luce e buio]{Sono rappresentati conteggi del PMT illuminato dalla luce del lase (puntini rossi) e completamente al buio (puntini blu).}
	\label{fig:ConteggiLuceBuio}
\end{figure}

Come si può notare le correnti di buio iniziano a presentarsi all'applicazione di $\SI{600}{V}$ e, come si vede dalla Figura \ref{fig:SegnaleRumore}, risultano sempre in una percentuale trascurabile rispetto al segnale. Oltre i $\SI{700}{V}$ i conteggi divetano ecessivi e il PMT non riesce più a fornire una risposta lineare \footnote{In realtà anche alla tensione scelta si sono avuti problemi di linearità come verrà spiegato in seguito}
per cui è stato deciso di utilizzare una tensione di $\SI{620}{V}$ che fornisce un elevato numero di conteggi ed un ottimo rapporto segnale rumore.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\includegraphics[width=.645\columnwidth , height=0.30\textheight]{./graph/voltPMT/rapporto_segnale_rumore}
	\caption[Rapporto segnale-rumore nel PMT]{Dati raffiguranti il rapporto segnale-rumore del PMT. Questi risultati sono stati ottenuti a partire dai dati della Figura \ref{fig:ConteggiLuceBuio}}
	\label{fig:SegnaleRumore}
\end{figure}

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\subsection{Statistica dei conteggi}
Dalla letteratura sappiamo che il numero di fotoni che arrivano al PMT soddisfa una statistica Poissoniana. Partendo da questo presupposto, abbiamo caratterizzato la statistica dei conteggi del PMT. E' stata eseguita un'acquisizione ad hoc utilizzando la configurazione finale e coprendo uno degli specchi dell'interferometro.\\
In figura \ref{fig:DatiPoisson}.a è riportato il set di dati con cui abbiamo effettuato la verifica. Come si può vedere sono evidenti oscillazioni imputabili a oscillazioni del laser
\footnote{Oscillazioni dello stesso tipo erano visualizzabili anche nel fotodiodi di controllo}.
Per non considerare queste oscillazioni, si è selezionato un intervallo avente un'andamento il più possibile costante. L'intervallo scelto è riportato in Figura \ref{fig:DatiPoisson}.b .

\begin{figure}[!htb]
	\centering
	\subfloat[][\emph{Acquisizione completa}.]
	{\includegraphics[width=0.485\columnwidth , height=0.25\textheight]{./graph/poisson/andamento}} \quad
	\subfloat[][\emph{Ingrandimento}.]
	{\includegraphics[width=0.485\columnwidth , height=0.25\textheight]{./graph/poisson/andamento_tra_140s_245s}}
	\caption[Statistica dei conteggi]{Dati utilizzati per la caratterizzazione della statistica dei conteggi del PMT.}
	\label{fig:DatiPoisson}
\end{figure}

Con questi dati si è riempito un istogramma, riportato in Figura \ref{hist:IstogrammaPoisson}, dal quale abbiamo calcolato la media ($M$) e lo scarto quadratico medio ($\sigma_M$) i quali risultano
\[
M =  \input{./value/poisson/mean_isto.dat} \qquad \sigma_M = \input{./value/poisson/variance_isto.dat}
\]

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\includegraphics[width=.585\columnwidth , height=0.30\textheight]{./graph/poisson/isto_tra_140s_245s}
	\caption[Istogramma dati verifica statistica Poissoniana]{Istogramma creato con i dati nell'intervallo [$140,245$]$s$ della Figura \ref{fig:DatiPoisson}.b .}
	\label{hist:IstogrammaPoisson}
\end{figure}

Se la statistica seguisse una distribuzione Poissoniana, si dovrebbe avere $M = \sigma_M^2$ mentre si ottiene  $\sigma_M^2 = \input{./value/poisson/sigmaquad_isto.dat}$ che differisce per quasi $5 \sigma$ da $M$. Inoltre notiamo che l'errore che otteniamo supponendo la distribuzione dei conteggi Poissoniana ($\tilde{\sigma}_M = \input{./value/poisson/sqrtmean_isto.dat}$), risulta maggiore dello scarto quadratico medio del nostro campione, mentre ci si aspetta che l'errore poissoniano sia un limite inferiore.\\
Per cercare di spiegare questo fenomeno si è pensato al funzionamento del fotomoltiplicatore. La sua efficienza dipende essenzialmente dall'efficienza quantica del fotocatodo, ovvero dalla percentuale di fotoni incidenti che emettono un fotoelettrone. Questa dipende dal materiale con cui è costruito e dalla l'unghezza d'onda della luce in arrivo; è possibile arrivare ad un $25\%$ sul picco della sensibilità. Altro fattore in gioco è l'efficienza di raccolta del fotoelettrone. Per PMT e lunghezza d'onda utilizzati si può stimare dai dati un'efficienza dell'ordine di $10^{-2}$.\\ 
In generale, quindi, possiamo dire che i conteggi da noi registrati sono inferiori al numero effettivo di fotoni che arriva al PMT, in particolare dato $C$ il numero di conteggi e $F$ il numero di fotoni, si ha
\[
C = \alpha F
\]
per un opportuno $\alpha < 1$. Dal momento che il numero di fotoni soddisfa una statistica Poissoniana, si ottiene 
\begin{eqnarray}
	\sigma_C
	&   =   & 	\alpha \sigma_F 
	\nonumber \\
	&   =   & 	\alpha \sqrt{F}
	\nonumber \\
	&   =   & 	\sqrt{\alpha} \sqrt{\alpha F}
	\nonumber \\
	&   =   & 	\sqrt{\alpha} \sqrt{C}
	\nonumber
\end{eqnarray}
ovvero $\sigma_C$ risulta inferiore all'errore stimato supponendo che i conteggi obbediscano a una statistica Poissoniana ($\sqrt{C}$).


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\subsection{Stabilità dell'apparato}
\label{sec:Stabilita}
Per verificare che l'apparato risulti stabile per i tempi caratteristici della misura di interferenza, abbiamo eseguito una scquisizione in tempi molto lunghi fissando il voltaggio applicato al piezo ad una tensione di $\SI{2.32}{V}$. In Figura \ref{fig:Stabilita} è riportato il grafico di questa acquisizione.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\includegraphics[width=.585\columnwidth , height=0.30\textheight]{./graph/stability/piezo_relaxing}
	\caption[Rilassamento piezo]{Acquisizione dati effettuata in un tempo lungo per evidenziare la stabilità dell'apparato nel tempo. In particola da questo grafico risulta evidente il tempo di \emph{rilassamento} del piezo}
	\label{fig:Stabilita}
\end{figure}

Come si può notare, il piezo ha un lungo periodo di \emph{rilassamento} in cui si stabilizza in una determinata posizione che risulta funzione della tensione a cui è sottoposto. I tempi caratteristici per aprezzare una variazione nella posizione dello specchio dovuta al \emph{rilassamento} del piezo risultano molto maggiori rispetto ai tempi in cui manteniamo il voltaggio costante (utilizziamo una variazione ogni secondo). Dopo i $\SI{40000}{s}$ si può considerare il piezo \emph{rilassato} ed è possibile apprezzare la stabilità dell'apparato. Come mostrato in Figura \ref{fig:IngrandimentoStabilita} si ha una variazione di circa l' $8\%$ dei conteggi in un tempo di $\sim \SI{35000}{s}$. Queste oscillazioni risultano completamente trascurabili per le nostre acquisizioni che si svolgono in un tempo inferiore ai $\SI{100}{s}$.

\begin{figure}[!ht]
	\centering
	\includegraphics[width=.585\columnwidth , height=0.30\textheight]{./graph/stability/stability}
	\caption[Stabilità dell'apparato]{Ingrandimento della Figura \ref{fig:Stabilita} per tempi maggiori di $\SI{40000}{s}$. In questo intervallo possiamo ragionevolmente considerare il piezo \emph{rilassato}.}
	\label{fig:IngrandimentoStabilita}
\end{figure}

\FloatBarrier
